Twierdzenie Tellegena

Wrażliwość bezwzględna:



Wrażliwość względna:



Dla dzielnika napięciowego wrażliwości względne transmitancji napięciowej można wyznaczyć :

 



 

 

 

 

 

Twierdzenie Tellegena dla jednego i dwóch układów

Suma iloczynów prądów i napięć gałęziowych w każdym układzie jest równa zeru:

        nb - liczba gałęzi układu łącznie ze wzbudzeniami.


Przykład:



 

 

 

 

v2= 9V, v1=-v2=-9V, v3=4V, v4=5V.

Bilans mocy w układzie: v1i1+v2i2+v3i3+v4i4= 0, -91+90,9+40,1+50,1 = 0.

 

Tw. Tellegena dla dwóch układów o tej samej topologii i liczbie gałęzi

   


oraz

 




Analiza układu oznaczonego przez (+) daje wyniki



 

Na podstawie tw.Tellegena:

-9 (-0,16) + (9 (0,04) + 4 (-0,2) + 5 (-0,2) = 0

oraz analogicznie

  
(-3,2) 1 + (3,2) 0,9 + (-6,8) 0,1 + (10) 0,1 = 0.

 

Obliczanie wrażliwości pasywnego i odwracalnego układu rezystancyjnego

Rozważmy odwracalny układ rezystancyjny posiadający n gałęzi z dołączonymi dwoma źródłami prądowymi:

Cały układ składa się z   n + 2 gałęzi, is - (n+1), i0 - (n+2).

Dla k-tej gałęzi układu N+ : vk = Rkik, k=1,2,...,n .

Zmiana RkDRk wpływa odpowiednio na v0

vk + Dvk = ( Rk + DRk ) ( ik + Dik ), vk + Dvk = Rkik + DRkik + RkDik + DRk Dik , k = 1,2,...,n .

Pomijając małe drugiego rzędu można zastosować przybliżenie:

Dvk = DRkik + RkDik .

Przy wymuszeniu prądowym Dis = 0 oraz Di0 = 0.

Twierdzenie Tellegena dla układów N oraz N+ :

Uwzględniając znowu tw. Tellegena i łącząc obydwie zależności :

Wyodrębniając gałęzie "0" oraz "k" :

Ponieważ Dis = 0 oraz Di0 = 0, a : Dvk = DRkik + RkDik sumę tą można przekształcić :

 

Przyjmujemy następnie, że gałęzie rezystancyjne w obu układach są jednakowe: vk+ = Rkik+ .

 



Dodatkowo przyjmujemy, że is+ = 0 oraz i0+ = 1 , wtedy

 

Jeżeli zmianie o Rj ulega tylko j-ty rezystor, a pozostałe są nie zmienione DRk = 0, to

a wrażliwości bezwzględna i względna na zmiany Rj będą określone wzorami

 

Algorytm oparty na twierdzeniu Tellegena w punktach:

1. Analiza układu oryginalnego N pobudzanego is = 1

2. Analiza układu dołączonego N+ , takiego samego jak N , lecz pobudzanego i0+ = 1.


Analogiczne zależności otrzymuje się dla zmian v0 przy zmianach konduktancji Gk.

Dla pojedynczej gałęzi:

ik = Gkvk   oraz    ik » DGkvk + Gk Dvk .


Postępując jak poprzednio uzyskuje się :

Dv0 = vj vj+ DGj .

 


 

Przykład :

          (G1 + G2 ) v1 - G2 v2 = 1                                    (G1 + G2 ) v1+ - G2 v2+ = 0

          -G2v1 + (G2 + G3 ) v2 = 0                                    -G2v1+ + (G2 + G3 ) v2+ = -1

 

 

 

 

 

 

Wrażliwości bezwzględne wynoszą

Wyznaczając pochodne v0 względem Gj :

 

Dla wartości liczbowych G1 = 1, G2 = 2, G3 = 3, v0 = v2 = 2/11 = 0,181818 otrzymuje się :

 

Powrót do strony głównej wykładów