Rozwiązywanie układów równań

Liczba równań: N=10

Metoda Cramera: (N-1)(N+1)! = 360 000 000

Gaussa-Jordana: N3/2 = 500

eliminacji Gaussa i LU: N3/3 = 330

Układ n liniowych równań o stałych współczynnikach

 

 

 

 

 

w postaci macierzowej Ax = b

 

gdzie: x = (x1, x2, .... , xn) , b = (b1, b2, ... , bn) oraz



Metoda Gaussa-Jordana: doprowadzanie układu równań do postaci:








Współczynniki zapisuje się w tzw. macierzy rozszerzonej N×(N+1) :

3I1 - 2I2 = 8

-2I1 + 5I2 = -9

 




Metoda eliminacji Gaussa

Układ równań :

Po eliminacji :

 








 


 

Wskaźniki górne przy aij i bi oznaczają kolejną modyfikację współczynników równań.

W procedurze tej stosuje się wzory rekurencyjne do obliczania współczynników :

Rozwiązanie metodą oczkową dla tego samego układu:





 





x2 = -1, x1 + 2/3 = 8/3 czyli x1 = 2 .




Metoda rozkładu LU

Gdy wymagane jest wielokrotne rozwiązywanie układu równań Ax = b przy niezmiennej macierzy A, a zmieniającym się wektorze wymumuszeń b.

Metoda polega na rozkładzie macierzy na czynniki trójkątne, dolny i górny:

A = L U









 

Po wykonaniu rozkładu pozostaje tylko wyznaczyć najpierw d, następnie x:

L U x = b

U x = d

L d = b

I. wyliczenie wektora d z ostatniego układu równań

II. wyznaczenie x z poprzedniego równania, etap analogiczny do podstawienia wstecz przy eliminacji

Podstawienie w przód - etap I Ld = b :

stąd mamy:

d1 = b1/ l11

d2 = (b2 - l21d1) l22 ......



Ogólnie:

Podstawienie wstecz - etap II: Ux = d :

 

stąd mamy:

xn = dn

xn-1 = dn-1- un-1,nxn .........





Ogólnie:

Macierze L i U można zapisać w miejsce A.

Macierz U jest produktem eliminacji Gaussa: Natomiast elementy macierzy L są uzyskiwane w trakcie eliminacji :

(I-sza kolumna)







Powrót do głównej strony wykładów